Matriz de rigidez global en pórticos planos con barras axialmente rígidas
La matriz de rigidez global es un tema ampliamente estudiado en ingeniería estructural. No obstante, en este trabajo me concentro en un caso particular: barras axialmente rígidas. Este enfoque, poco frecuente en la literatura, aporta un matiz novedoso y permite comprender con mayor claridad los fundamentos del método matricial. Más adelante, ampliaré el análisis al caso de barras transversalmente rígidas.
En el video se plantea el problema y se expone la formulación inicial: desde la identificación de coordenadas generalizadas hasta la construcción de la matriz de rigidez global. En futuras entregas compartiré ejemplos prácticos y la solución completa, de modo que se pueda apreciar la aplicación de este enfoque en estructuras reales.
1. Nociones fundamentales
1.1. Coordenadas generalizadas
La configuración geométrica de un sistema mecánico o estructural puede definirse mediante coordenadas generalizadas. Se trata de un conjunto de parámetros con interpretación geométrica (longitud, área, volumen, ángulo, coordenadas cartesianas, etc.), los cuales en dinámica dependen del tiempo y en estática toman valores constantes.
En términos simples, las coordenadas generalizadas permiten describir la posición o configuración de un sistema de manera completa y eficiente. En estructuras como pórticos, estas coordenadas se asocian típicamente a desplazamientos y giros independientes en los nodos.
1.2. Sistemas discretos y continuos
Un sistema se denomina discreto cuando su configuración puede describirse con un número finito de coordenadas generalizadas, como ocurre en los modelos estructurales de barras y pórticos. En cambio, los sistemas continuos (vigas, placas, membranas) requieren funciones dependientes de la posición (y en dinámica, también del tiempo), lo que conduce a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
1.3. Sistemas discretos. Condiciones de vínculo
En los sistemas discretos, las coordenadas generalizadas deben cumplir las condiciones de vínculo, que pueden ser holónomas (relaciones integrables) o no holónomas (relaciones no integrables). En nuestro caso, al tratar con pórticos planos en estática, el sistema es holónomo y es posible trabajar con un conjunto reducido de coordenadas independientes.
1.4. Desplazamientos virtuales. Grados de libertad
El número de grados de libertad de un sistema corresponde al número de coordenadas generalizadas independientes necesarias para describir su desplazamiento. En estructuras de barras, este concepto se traduce en la cantidad de desplazamientos y giros nodales independientes que se deben considerar para formular la matriz de rigidez global.
1.5. Cargas generalizadas
Las cargas generalizadas se definen como aquellas que producen trabajo virtual coherente con las coordenadas generalizadas del sistema. Se obtienen mediante el principio de los trabajos virtuales, lo cual permite vincular las fuerzas aplicadas con los desplazamientos independientes del modelo estructural.
1.6. Sistemas lineales
Un sistema es lineal cuando la relación entre desplazamientos y fuerzas obedece al principio de superposición. En el contexto de la matriz de rigidez, esto significa que la respuesta estructural puede expresarse como una combinación lineal de soluciones elementales.
1.7. Un caso de geometría no lineal
En sistemas con grandes desplazamientos o deformaciones, la relación entre coordenadas generalizadas y desplazamientos reales deja de ser lineal. Este es el caso de estructuras con geometría no lineal, donde la formulación requiere métodos incrementales o iterativos.
1.8. Caso de geometría lineal. Superposición de desplazamientos y fuerzas
Cuando las deformaciones son pequeñas, se adopta el supuesto de geometría lineal, en el cual los desplazamientos y las fuerzas pueden superponerse directamente. Este es el marco habitual en el que se desarrolla la matriz de rigidez global para pórticos y marcos estructurales.
1.9. Identificación de coordenadas
La formulación matricial requiere identificar correctamente las coordenadas generalizadas (desplazamientos y giros independientes) y asociarlas con las cargas generalizadas correspondientes. Este proceso se lleva a cabo a partir de estados elementales de carga y desplazamiento, los cuales permiten construir la matriz de rigidez global.
